肇事逃逸是一种严重的违法行为，不仅损害了受害者的权益，也破坏了社会的交通秩序和公序良俗。一旦肇事逃逸行为被立案，肇事者将面临一系列严重的法律后果。

首先，警方会立即展开全面的调查取证工作。他们会仔细勘查事故现场，耐心询问目击证人，并全力调取相关监控录像，以确定肇事车辆及逃逸者的具体信息。这一过程中，警方会动用各种资源和手段，力求尽快找到逃逸者。

一旦找到肇事车辆和逃逸人员，警方会依法对其采取强制措施，如拘留等，以确保逃逸者为其行为承担法律责任。根据法律规定，肇事逃逸行为如果构成交通肇事罪，通常会被判处三年以上七年以下有期徒刑。如果因逃逸行为导致他人死亡，处罚将更加严厉，可能会被判处七年以上有期徒刑。

除了刑事处罚外，肇事者还需承担民事赔偿责任。这意味着逃逸者需要赔偿受害者因此次事故产生的所有损失，包括医疗费、误工费、护理费、交通费等。即便逃逸者未被找到，案件仍会持续侦查，一旦有线索就会立即处理。而受害者及其家属也可以通过法律途径，督促警方尽快破案，并获得应得的赔偿。

此外，肇事逃逸者还会面临行政处罚。公安机关交通管理部门会吊销逃逸者的机动车驾驶证，且终生不允许其重新取得。同时，还会对逃逸者处以二百元以上二千元以下的罚款，并可以视情况并处15日以下拘留。

综上所述，肇事逃逸行为一旦立案，肇事者将面临刑事处罚、民事赔偿以及行政处罚等多方面的严厉制裁。因此，强烈建议驾驶者在发生事故后，应立即停车处理，积极承担责任，以避免不必要的法律后果。