请求腾退军队公寓住房的案由，通常需根据具体情况来确定，可能涉及侵权纠纷或合同纠纷。下面我将详细解释这两种可能的情况：
侵权纠纷：
- 若他人非法占有军队公寓住房，导致军队或相关权利人请求腾退，这构成对军队或相关权利人占有、使用房屋权利的侵犯。此时，案由可定为占有物返还纠纷。例如，未经军队同意，某人擅自入住军队公寓住房并拒绝搬离，军队请求其腾退房屋，即属于此类情况。
合同纠纷：
- 在租赁合同关系中，若承租人（可能是军队人员或其家属）未按照合同约定返还军队公寓住房，出租方（军队或相关管理单位）请求腾退房屋，此时可归为合同纠纷案由中的租赁合同纠纷。比如，租赁合同期满后，承租人拒不搬离，出租方请求其腾退房屋。
综上所述，请求腾退军队公寓住房的案由需根据具体的法律关系和事实情况来确定。若您面临此类问题，建议详细咨询专业律师，以便更准确地确定案由并采取相应的法律措施。作为专注于建设工程、经济纠纷、房产纠纷领域的律师，我李泳霄非常乐意为您提供专业的法律咨询和帮助。