继续履行合同的执行是一个涉及法律程序和合同双方权益的重要环节。以下是对如何执行继续履行合同的详细解答：

一、确认合同继续履行的条件

首先，需要明确合同是否具备继续履行的条件。这包括合同是否合法有效，合同标的是否具有可履行性，以及是否存在法律上或事实上不能履行的情形。如果合同确实具备继续履行的条件，那么当一方不履行合同义务时，另一方便有权要求其继续履行。

二、书面催告与保留凭证

在确认合同可以继续履行后，守约方应书面通知违约方，明确要求其在合理期限内继续履行合同义务，并保留好相关凭证。这一步骤是后续法律程序中的重要证据。

三、依据合同争议解决方式处理

若违约方在收到书面催告后仍不履行合同，守约方应根据合同约定的争议解决方式进行处理。如果合同约定了仲裁，则应向约定的仲裁机构申请仲裁；如果合同约定了诉讼，则应向有管辖权的法院起诉，要求对方继续履行并承担违约责任。

四、申请强制执行

在获得生效的仲裁裁决或法院判决后，若违约方仍不履行合同义务，守约方可以向法院申请强制执行。法院将采取一系列措施，如查询、冻结、划拨财产等，以确保合同得到继续履行。这些措施旨在保护守约方的权益，并促使违约方履行合同义务。

五、特殊情况的处理

在执行继续履行合同的过程中，可能会遇到一些特殊情况。例如，因不可抗力等不可预见、不可避免且不可克服的客观情况导致履行不能，或者因情势变更致使继续履行显失公平。在这些情况下，根据法律规定，可以部分或全部免除责任，或者请求法院变更或解除合同。

六、注意事项

1. 保留证据：在整个过程中，守约方应妥善保留所有与合同履行相关的证据，包括合同原件、书面催告函、违约证据等。
2. 及时行动：在发现违约行为后，守约方应及时采取行动，以避免损失扩大。
3. 配合执行：在申请强制执行时，守约方应积极配合法院的执行工作，提供必要的协助和信息。

综上所述，继续履行合同的执行需要遵循一定的法律程序和步骤。守约方应明确合同继续履行的条件，书面催告违约方并保留凭证，依据合同争议解决方式处理纠纷，并在必要时申请强制执行。同时，也应注意处理特殊情况并保留好相关证据。