私生子可以继承的是生父或生母的个人合法财产，且享有与婚生子女同等的继承权。具体来说：

1. 若生父或生母留有遗嘱：明确指定私生子为遗产继承人，那么私生子可依据遗嘱继承相应遗产份额。遗嘱继承优先于法定继承，只要遗嘱合法有效，私生子就能按遗嘱内容继承生父或生母的遗产。

2. 在没有遗嘱的情况下：按照法定继承顺序，私生子作为第一顺序继承人，有权继承生父或生母的遗产。法定继承中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母，这里的子女就包含非婚生子女，即私生子。他们通常与其他法定继承人平均分配遗产。

需要注意的是，私生子要继承生父遗产时，若生父与他人存在合法婚姻关系，需要先对夫妻共同财产进行分割，分割后属于生父的那部分财产，才是可供继承的遗产，私生子可按法定继承规则继承相应份额。同理，继承生母遗产也是如此。

综上所述，私生子在遗产继承方面与婚生子女享有同等权利，可以继承生父或生母的个人合法财产。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。