如果您在私人小店买到过期饮料，您有权要求小店进行赔偿，赔偿方式及金额可依据《中华人民共和国消费者权益保护法》和《中华人民共和国食品安全法》的相关规定来确定。

1. 法律依据与赔偿权利：

   • 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》第五十二条，小店作为经营者，提供过期饮料这一商品已造成您财产损害，应承担民事责任，包括退还货款、赔偿损失等。
   • 根据《中华人民共和国食品安全法》第一百四十八条，您因购买到不符合食品安全标准的过期饮料而受到损害，可以向小店要求赔偿损失，并要求支付价款十倍或损失三倍的赔偿金。若赔偿金额不足一千元，则最低赔偿为一千元。

2. 索赔方式与步骤：

   • 与小店协商：首先，您应携带购买凭证、过期饮料瓶等相关证据，找到小店店主说明情况，要求其给予赔偿。赔偿范围可包括退还饮料价款、因饮用过期饮料导致的医疗费、误工费、精神损害抚慰金等合理费用。
   • 请求消费者协会调解：若与小店协商不成，您可向当地消费者协会投诉，提交详细情况和相关证据。消费者协会将进行调查和调解，促使双方达成赔偿协议。
   • 向行政部门投诉：您也可以向当地市场监督管理部门或食品药品监督管理局投诉。这些部门将对小店进行调查，并根据情节轻重给予相应处罚，同时督促小店进行赔偿。
   • 提起诉讼：若上述途径均无法解决问题，您可向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需提供充分证据支持自己的诉求。法院将根据法律规定和事实情况进行判决，要求小店承担相应赔偿责任。

3. 赔偿金额与计算：

   • 赔偿金额的计算应依据《食品安全法》的规定，除赔偿您因饮用过期饮料导致的实际损失外，您还可要求小店支付饮料价款十倍或损失三倍的赔偿金。若赔偿金额不足一千元，则按一千元计算。
   • 同时，根据《消费者权益保护法》的规定，增加赔偿的金额也可为消费者购买商品的价款的三倍；若该金额不足五百元，则为五百元。在实际操作中，赔偿金额的计算应综合考虑具体法律规定和案件情况。

4. 维权建议与注意事项：

   • 在维权过程中，请务必保留好购买过期饮料的相关证据，如购物小票、饮料包装、就医记录等。这些证据将在要求赔偿时起到关键作用。
   • 如果小店店主存在欺诈行为或故意销售过期饮料等违法行为，您还可依据相关法律规定要求小店承担惩罚性赔偿责任。
   • 若您在维权过程中遇到困难或不确定如何操作，可寻求法律援助或进一步咨询我。

综上所述，您在私人小店买到过期饮料后，有多种途径可以维护自己的合法权益并获得赔偿。在维权过程中，请务必了解相关法律法规和赔偿标准，并保留好相关证据以便有效维权。