商家未经家长允许给未成年人打舌钉的行为，主要由市场监管部门（如工商行政管理局）以及可能涉及的卫生健康行政部门管辖。以下是对此问题的详细分析：
市场监管部门的管辖：
- 商家在未获得家长同意的情况下为未成年人提供打舌钉服务，可能违反了《未成年人保护法》以及《消费者权益保护法》的相关规定。
- 市场监管部门负责监管商家的经营行为，包括是否侵害了消费者的合法权益，特别是未成年人的特殊保护权益。
- 商家若未取得相应资质或违反相关规定提供此类服务，市场监管部门有权进行查处。
卫生健康行政部门的管辖：
- 打舌钉属于医疗美容或类似医疗行为，需要专业的医疗环境和资质。
- 如果商家没有相应的医疗资质或卫生条件不达标，卫生健康行政部门有权进行监管和处罚。
- 商家的行为可能构成非法行医或违反医疗卫生管理法规，卫生健康行政部门应介入调查。
综上所述，商家未经家长允许给未成年人打舌钉的行为，既可能涉及市场监管部门的管辖，也可能涉及卫生健康行政部门的管辖。具体管辖部门会根据商家的具体行为、资质以及造成的后果等因素综合判断。如果家长或监护人发现此类行为，应及时向相关部门举报，以保护未成年人的合法权益。