刑事案件材料在侦查终结后，应先移送至同级人民检察院审查决定。以下是详细的移送流程及法律依据：

一. 移送公安机关内设部门审核

1. 移送对象与审查：派出所完成初步侦查后，会将案件移送至公安机关内部的刑侦部门或法制部门进行进一步审查，对案件的侦查程序、证据收集、法律适用等方面进行严格把关。
2. 反馈与完善：若案件存在需要补充侦查或其他问题，法制部门会提出意见并反馈给办案单位进行完善，确保案件质量。

• 例如，若一起盗窃案件在派出所侦查完毕后，会先送至刑侦部门审核证据是否充分，程序是否合法。

二. 移送人民检察院审查起诉

1. 移送条件：案件犯罪事实清楚，证据确实、充分，依法应当追究犯罪嫌疑人刑事责任的，公安机关会将案件移送人民检察院。
2. 移送材料与审查：移送时，需将案件的全部材料，包括证据、犯罪嫌疑人的供述等一并移送。人民检察院收到后，会进行全面审查，并依法作出是否提起公诉的决定。
3. 审查期限：根据《刑事诉讼法》第一百七十二条，人民检察院应当在一个月以内对移送起诉的案件作出决定，重大、复杂的案件可以延长审查起诉期限。

• 例如，一起故意伤害案件，在公安机关侦查终结并认为证据确凿后，会移送至人民检察院，由检察院进行进一步的审查，决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。

三. 法律依据

• 《公安机关办理刑事案件程序规定（2020年修订本）》第一百七十八条明确了公安机关接受案件后的立案与不予立案的条件及程序。
• 《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十二条明确规定了公安机关侦查终结的案件应移送同级人民检察院审查决定的具体要求。
• 《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十二条则规定了人民检察院对移送起诉案件的审查期限。

综上所述，刑事案件材料在侦查终结后，应按照法定程序先移送至同级人民检察院进行审查决定。这一流程确保了案件的公正、合法处理，并体现了我国刑事诉讼制度的严谨性。如有进一步需要，您可以继续咨询我。