被抱养孩子的监护人，在收养关系依法成立后，一般由收养人担任。收养人需满足一定的条件，包括有抚养教育被收养人的能力、未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病、年满三十周岁（若为单身男性收养女性，还需满足与被收养人年龄相差40周岁的特殊规定，但收养继子女或三代以内同辈旁系血亲的子女不受此限制）。

收养关系的确定需经过收养登记程序。收养人需向县级以上人民政府民政部门提交相关证件和证明材料，包括收养人的居民户口簿和居民身份证、由收养人所在单位或村民委员会、居民委员会出具的婚姻状况、有无子女和抚养教育被收养人的能力等情况的证明，以及县级以上医疗机构出具的未患有在医学上认为不应当收养子女疾病的身体健康检查证明等。收养登记机关会对申请进行审查，符合收养法规定条件的，准予登记，发给收养登记证，收养关系即告成立。

因此，在收养关系依法成立后，被抱养孩子的监护人即为收养人。收养人应依法履行监护职责，保护被收养人的人身、财产及其他合法权益。若收养关系解除，则监护权也会相应发生变化，需按照相关法律规定办理解除收养关系登记，并确定新的监护人。