继子女申请继承权，需根据与继父母之间是否形成扶养关系，以及是否存在合法有效的遗嘱来判定。以下是对这一问题的详细解答：

一、形成扶养关系的情况

当继子女与继父母之间形成了扶养关系时，继子女就享有对继父母遗产的法定继承权。扶养关系的形成可从以下几个方面进行认定：

1. 继父母对继子女的抚养教育：

   • 经济支持：继父母为继子女提供必要的生活费用、教育费用等经济开支。
   • 生活照料：在日常生活中照顾继子女的生活起居，关心其健康和安全。
   • 教育培养：关注继子女的学业和成长，给予正确的引导和帮助。

2. 继子女对继父母的赡养扶助：

   • 经济供养：在继父母年老或丧失劳动能力时，继子女为其提供必要的生活费用。
   • 生活照料：关心继父母的日常生活，帮助他们处理生活中的事务。
   • 精神慰藉：给予继父母精神上的关心和陪伴，让他们感受到家庭的温暖。

若继子女与继父母形成了上述扶养关系，则继子女可作为第一顺序法定继承人，参与继承继父母的遗产。

二、未形成扶养关系但有遗嘱的情况

如果继子女与继父母没有形成扶养关系，一般情况下不享有法定继承权。但是，如果继父母通过立遗嘱的方式，明确将个人财产指定由继子女继承，那么继子女就可以按照遗嘱的内容取得相应的遗产份额。遗嘱继承不受扶养关系的限制，只要遗嘱合法有效，继子女即可按照遗嘱的约定继承遗产。

三、继承权的申请流程

1. 确认继承权：首先，继子女需要确认自己是否享有继承权，这取决于与继父母之间是否形成扶养关系或是否存在合法有效的遗嘱。

2. 了解遗产情况：继子女应了解继父母的遗产情况，包括遗产的种类、数量、价值以及是否存在债务等。

3. 协商或诉讼：如果遗产分配存在争议，继子女可与其他继承人进行协商，或者通过人民调解委员会进行调解。如果协商和调解均无法解决问题，继子女可以向人民法院提起诉讼，请求法院对遗产进行分割。

4. 办理继承手续：在继承权得到确认且遗产分配无争议后，继子女可按照相关法律法规的规定，办理继承手续，如办理遗产过户、领取遗产等。

综上所述，继子女申请继承权需根据具体情况进行判定，并遵循相关法律法规的规定办理相关手续。如有任何疑问或争议，建议咨询专业律师或法律机构以获取更准确的法律意见和帮助。