在民事检察监督案件中，提起监督和抗诉的法定情形主要包括以下几种：

1. 原判决、裁定适用法律确有错误的：

   • 法院在审判过程中，对应当适用的法律条文理解错误、适用错误的法律规范，导致判决、裁定结果不公。例如，在知识产权侵权案件中，法院错误地适用了已经失效的法律条款来判定侵权责任，而忽略了现行有效的法律规定，此时检察院可基于适用法律错误提出抗诉。

2. 审判人员在审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的：

   • 审判人员在审理案件过程中，若存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为，无论该行为是否直接导致判决结果错误，检察院都有可能提出抗诉。这些违法行为严重损害了司法的公正性和权威性。

3. 调解书损害国家利益、社会公共利益的：

   • 对于法院已经生效的调解书，如果检察院发现其内容损害了国家利益或社会公共利益，如导致国有资产大量流失或对环境造成严重破坏，检察院有权提出抗诉。

4. 原判决、裁定认定事实的主要证据不足的：

   • 如果法院在判决或裁定中认定的事实缺乏充分证据支持，检察院也可以提出抗诉。

5. 人民法院违反法定程序，可能影响案件正确判决、裁定的：

   • 法院在审理案件过程中如果违反了法定程序，且这种违反可能影响案件的公正判决或裁定，检察院同样可以提出抗诉。

6. 其他法定情形：

   • 如判决、裁定是经同级人民法院再审后作出的，或判决、裁定是经同级人民法院审判委员会讨论作出的，检察院通常也应当提请上一级人民检察院抗诉。

在申请民事检察监督时，当事人应当注意申请抗诉的期限。根据相关规定，当事人向人民检察院申请监督的期限通常是在人民法院作出驳回再审申请裁定或者再审判决、裁定发生法律效力之日起两年内（具体期限可能因不同规定而有所差异，请参照最新法律法规）。因此，当事人应当及时行使自己的权利，确保在法定期限内提出申请。

如果您或您的亲友在民事案件中遇到了上述问题，且认为判决或裁定存在错误，可以向人民检察院申请监督或抗诉。在申请过程中，建议咨询专业律师以获取更详细的法律建议和帮助。