对于拒不道歉导致的行政拘留，处理方式主要依据《治安管理处罚法》的相关规定进行。具体来说：

1. 法律条款：

   • 根据《治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。若存在结伙殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人，以及多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人等情形，处罚将更为严厉，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。

2. 处理方式：

   • 调解：在双方自愿的基础上，公安机关可以尝试进行调解，促使双方达成和解。若对方拒不道歉，也无法达成赔偿协议，则调解无果。
   • 处罚：若调解无果，公安机关将依法对拒不道歉的一方进行行政处罚，即根据上述法律条款进行拘留和罚款。

3. 后续行动：

   • 若对方被拘留，你将会收到对方的处罚决定书副本，作为案件处理的依据。
   • 若你对处罚决定有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。

4. 实际建议：

   • 在面对拒不道歉的情况时，保持冷静，避免情绪化的冲突。
   • 收集相关证据，如监控录像、证人证言等，以便在需要时提供给公安机关。
   • 若对方态度强硬，不愿道歉或赔偿，可依法通过公安机关处理，维护自己的合法权益。

综上所述，对于拒不道歉导致的行政拘留，公安机关将依法进行处理。若你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。