物业对公共过道放鞋子有处置权，且该行为合法。以下是对此问题的详细分析：

一. 物业对公共过道的管理权

1. 法律依据：根据《物业管理条例》第二条，物业管理是指业主通过选聘物业服务企业，由业主和物业服务企业按照物业服务合同约定，对房屋及配套的设施设备和相关场地进行维修、养护、管理，维护物业管理区域内的环境卫生和相关秩序的活动。这表明物业服务企业有权对物业管理区域内的公共部分进行管理。
2. 具体管理内容：公共过道作为物业管理区域内的一部分，其环境卫生和秩序维护属于物业服务企业的管理范畴。因此，对于公共过道内放鞋子的行为，物业有权进行管理和处置。

二. 物业处置行为的合法性

1. 维护公共利益：物业对公共过道放鞋子的行为进行处置，是为了维护物业管理区域内的环境卫生和公共秩序，保障业主的合法权益。这是符合《物业管理条例》制定目的的，即改善人民群众的生活和工作环境。
2. 合同约定：业主与物业服务企业签订的物业服务合同中，通常会明确物业服务企业的管理职责和权限。因此，物业对公共过道放鞋子的处置行为，也是基于合同约定而进行的，具有合法性。

综上所述，物业对公共过道放鞋子有处置权，且该行为是合法的。物业为了维护物业管理区域内的环境卫生和公共秩序，有权对公共过道内的不当行为进行管理和处置。如有进一步需要，您可以继续咨询我。