在没有签订劳动合同的情况下，确定私人企业与劳动者之间的劳动关系，可以依据多个方面的证据和劳动关系的本质特征来进行。以下是一些详细的方法和建议：
一、依据法定凭证证明劳动关系
根据相关规定，以下凭证可以作为证明劳动关系的关键证据：
工资支付凭证或记录：
- 包括但不限于银行转账记录、工资条等，这些记录应显示用人单位的名称、转账金额及时间，并能反映出规律性的资金往来，与劳动报酬的支付周期相符合。
身份证明证件：
- 如工作证、服务证等，这些证件上通常会印有劳动者的姓名、照片、部门、职位等信息，并加盖有用人单位的公章，能够直观地体现劳动关系。
招用记录：
- 比如招工招聘的“登记表”、“报名表”等，这些记录中包含了劳动者的个人信息、工作经历以及应聘的职位，是招聘与被招聘关系的原始凭证。
考勤记录：
- 如打卡记录、签到表等，这些记录能够反映劳动者的出勤情况以及工作时间，从而证明劳动管理关系的存在。
其他劳动者的证言：
- 同事的证言也可以作为辅助证据，他们可以提供关于工作情况、工作内容以及工作时间的证言，从侧面佐证劳动关系的存在。
二、从劳动关系的本质特征进行判断
除了上述具体凭证外，还可以通过劳动关系的本质特征来进一步辅助判断：
主体适格性：
- 用人单位需要是依法成立的企业、个体经济组织等，而劳动者则需要符合法定就业年龄并具备劳动能力。
从属性：
- 劳动者需要遵守用人单位的规章制度，并接受用人单位的管理与指挥，这体现了人格从属性。
- 劳动者提供的劳动需要构成用人单位业务的一部分，并且劳动者依赖用人单位支付的劳动报酬来生活，这体现了经济从属性。
劳动性质：
- 劳动者提供的劳动需要与用人单位的业务紧密相关，并且是用人单位业务的组成部分。
三、额外证据收集与建议
与单位负责人的沟通记录：
- 在合法合规的前提下，可以与单位负责人就劳动关系进行沟通，并保留录音录像等作为辅助证据。
申请劳动争议仲裁：
- 如果企业不承认劳动关系，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，由专业机构进行认定。在申请仲裁时，务必全面收集和保存相关证据，以充分支持自己的主张。
综上所述，即使未签订书面劳动合同，劳动者也可以通过多种方式和证据来证明与私人企业之间的劳动关系。关键在于积极收集并妥善保存相关证据，并在必要时采取合适的法律手段来维护自身的合法权益。