公寓抓嫖娼时，公安机关是否会第一时间调取公寓监控，取决于具体的案情和侦查需要。

一. 调取监控的法律依据

1. 《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十条：公安机关在立案后，对于危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪、黑社会性质的组织犯罪、重大毒品犯罪或者其他严重危害社会的犯罪案件，根据侦查犯罪的需要，可以采取技术侦查措施。其中，技术侦查措施包括记录监控等措施。

   • 例如，在公寓抓嫖娼的案件中，如果案情重大或涉及其他严重犯罪，公安机关可能会根据侦查需要调取监控。

2. 《中华人民共和国治安管理处罚法》第八十九条：公安机关办理治安案件，对与案件有关的需要作为证据的物品，可以扣押；对被侵害人或者善意第三人合法占有的财产，不得扣押，应当予以登记。对与案件无关的物品，不得扣押。对扣押的物品，应当会同被扣押人查点清楚，当场开列清单一式二份，由侦查人员、见证人和被扣押人签名或者盖章，一份交给被扣押人，另一份附卷备查。

   • 监控录像作为可能的证据，公安机关在必要时可以依法调取。

二. 调取监控的实际操作

1. 侦查需要：公安机关在抓嫖娼的过程中，如果认为监控录像对于查清案件事实、确认违法嫌疑人身份或行为轨迹等具有重要作用，那么很可能会第一时间调取监控。

2. 技术条件：调取监控还需要考虑技术条件，如监控设备的运行状态、存储数据的完整性以及调取监控的技术手段等。如果技术条件不允许，那么公安机关可能无法第一时间调取监控。

三. 结论

综上所述，公寓抓嫖娼时，公安机关是否会第一时间调取公寓监控，并不是绝对的，而是取决于具体的案情、侦查需要以及技术条件。如果监控录像对于查清案件事实具有重要作用，且技术条件允许，那么公安机关很可能会第一时间调取监控。反之，则可能不会立即调取。

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