业主可以对小区首次登记提起行政诉讼，并且最高院有相关判例支持。以下是对这一问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关的行政行为侵犯其合法权益时，有权依照本法向人民法院提起诉讼。小区首次登记作为行政机关的一项具体行政行为，如果业主认为该登记行为侵犯了其合法权益，自然有权提起行政诉讼。

二、最高院判例支持

最高人民法院在相关判例中明确支持了业主对小区首次登记提起行政诉讼的权利。这些判例通常涉及业主对小区首次登记的合法性、程序性等方面提出质疑，并请求法院撤销或确认违法。最高院在审理这些案件时，会根据行政诉讼法的相关规定，对行政机关的登记行为进行审查，并作出相应的判决。

三、实际案例分析

在实际案例中，业主可能因小区首次登记存在错误、遗漏或者程序违法等问题而提起行政诉讼。例如，某小区在首次登记时，将部分业主的共有部分错误地登记为开发商所有，导致业主权益受损。业主在得知这一情况后，可以向法院提起行政诉讼，请求撤销错误的登记行为，并要求行政机关重新作出正确的登记。

四、建议与注意事项

1. 明确诉求：业主在提起行政诉讼前，应明确自己的诉求，即希望法院撤销、变更还是确认违法的具体行政行为。
2. 收集证据：业主应收集充分的证据来支持自己的诉求，包括小区首次登记的相关资料、业主的权益证明以及行政机关的违法行为证据等。
3. 咨询专业律师：由于行政诉讼涉及复杂的法律程序和法律规定，业主在提起行政诉讼前，最好咨询专业律师，以确保自己的诉求得到充分的法律支持。

综上所述，业主完全有权对小区首次登记提起行政诉讼，并且最高院有相关判例支持。在实际操作中，业主应明确诉求、收集证据，并咨询专业律师以确保自己的合法权益得到有效维护。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。