电梯维保单位若连续5次违反《中华人民共和国特种设备安全法》第八十条的规定，应由负责特种设备安全监督管理的部门责令其限期改正，并在其逾期未改正的情况下，处以一万元以上十万元以下的罚款。以下是具体的分析：
一. 法律依据及责任判定
法律依据：根据《中华人民共和国特种设备安全法》第八十条，电梯制造单位未按照安全技术规范的要求对电梯进行校验、调试的，由负责特种设备安全监督管理的部门责令限期改正；逾期未改正的，处一万元以上十万元以下罚款。此条款同样适用于电梯维保单位，因其也承担着确保电梯安全校验、调试的责任。
责任判定：电梯维保单位连续5次违反此规定，表明其存在持续性的违法行为，且未能在之前的责令改正期限内进行改正。因此，负责特种设备安全监督管理的部门有权并应当对其采取罚款措施。
二. 处理流程
立案与调查：负责特种设备安全监督管理的部门在发现电梯维保单位的违法行为后，应首先进行立案，并指定专人负责调查取证。调查过程中，应确保执法人员的公正性，避免与当事人存在直接利害关系。
审查与告知：调查完成后，部门应对案件进行审查，确认违法事实、证据及法律适用等方面无误后，制作《行政处罚事先告知书》送达当事人，告知其违法事实及享有的陈述、申辩等权利。
决定与执行：在当事人未提出有效申辩或陈述的情况下，部门应制作行政决定书，决定对电梯维保单位进行罚款。罚款金额应根据违法行为的严重性和持续时间，在一万元至十万元的范围内确定。决定作出后，应依法送达当事人，并监督其执行。
三. 信息公开与后续监管
信息公开：根据相关规定，负责特种设备安全监督管理的部门应主动公开具有一定社会影响的行政处罚决定，以起到警示作用。
后续监管：在罚款执行完毕后，部门还应加强对电梯维保单位的后续监管，确保其严格按照安全技术规范的要求进行电梯的校验、调试等工作，防止类似违法行为再次发生。
我建议电梯维保单位应高度重视此次违法行为带来的后果，积极采取措施进行整改，并加强内部管理和培训，确保今后严格遵守相关法律法规和安全技术规范的要求。如有进一步需要，您可以继续咨询我。