对于非党公职人员嫖娼被抓的处理方式，虽然具体的处理措施可能因地区、单位以及具体情况的不同而有所差异，但通常可以参照相关法律法规和公职人员管理规定来执行。以下是一般性的处理流程和建议：

首先，嫖娼行为是违法的，违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定。因此，一旦非党公职人员被发现有嫖娼行为，他们首先会面临法律的制裁，这可能包括行政拘留、罚款等处罚措施。

其次，作为公职人员，他们还需要接受行政或纪律处分。根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》的相关规定，对于公职人员参与嫖娼等违法违纪行为，监察机关或任免机关可以给予其撤职或者开除的政务处分。这意味着，非党公职人员嫖娼被抓后，很可能会面临职业生涯的严重打击，甚至可能失去公职。

此外，对于非党公职人员嫖娼被抓的情况，单位内部也可能进行进一步的调查和处理。这可能包括内部纪律处分、岗位调整、降级或解聘等措施。具体处理方式将取决于单位的规章制度和实际情况。

最后，对于此类事件，建议相关单位加强教育和监管，提高公职人员的法律意识和道德水平。同时，也鼓励公职人员自觉遵守法律法规和职业道德规范，树立良好的公众形象。

综上所述，非党公职人员嫖娼被抓后，将面临法律的制裁、行政或纪律处分以及单位内部的进一步处理。因此，公职人员应时刻保持清醒头脑，自觉遵守法律法规和职业道德规范，以免因一时冲动而付出沉重的代价。