学校没有权利随意搜查掀开学生的床垫。以下是对此问题的详细分析：

一. 学校权利与学生隐私权的界定

1. 学校权利：学校作为教育机构，其主要职责是提供教育服务，管理学生，维护校园秩序。然而，这些权利并不包括随意搜查学生个人物品或私人空间。
2. 学生隐私权：学生作为独立的个体，享有隐私权。隐私权是公民享有的私人生活安宁与私人信息依法受到保护，不被他人非法侵扰、知悉、搜集、利用和公开等的一种人格权。床垫作为学生的私人用品，其下的物品属于学生的隐私范畴。

二. 法律依据

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十二条：“自然人享有隐私权。任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。”
• 同时，相关法律法规也并未赋予学校随意搜查学生私人物品的权利。

三. 实际情况分析

1. 特殊情况下的搜查：在特定情况下，如涉及学生安全、校园安全或违法犯罪行为等，学校可能需要配合相关部门进行搜查。但这种搜查必须依法进行，且通常需要相关部门的授权或许可。
2. 日常管理与隐私保护：在日常管理中，学校应尊重学生的隐私权，不得随意搜查学生的私人物品。如果学校需要了解学生的住宿情况或进行卫生检查等，应事先通知学生，并在学生同意的情况下进行。

综上所述，学校没有权利随意搜查掀开学生的床垫。这是对学生隐私权的尊重和保护。如果学校确实需要进行相关搜查，必须依法进行，并确保学生的合法权益不受侵犯。如有进一步需要，您可以继续咨询我。