是的，失踪人被宣告死亡的，其遗产继承的开始时间是法院判决中确定的失踪人的死亡日期。

在我国，继承是从被继承人死亡或者宣告死亡时开始的。对于失踪人被宣告死亡的情况，法律有明确规定，即以法院判决中确定的失踪人的死亡日期为继承开始的时间。这一规定确保了遗产继承的合法性和有序性。

具体来说，当失踪人被法院宣告死亡后，其遗产便进入了继承程序。此时，继承人们可以根据法律规定或者遗嘱的约定，开始分割和继承遗产。而继承的开始时间，就是法院判决中确定的失踪人的死亡日期。这一日期具有法律效力，是确定继承权利、义务和遗产分割等事项的重要依据。

因此，在处理失踪人被宣告死亡的遗产继承问题时，我们应该严格遵循法律规定，以法院判决中确定的失踪人的死亡日期为继承开始的时间。如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师，以确保自己的合法权益得到妥善保护。