诊所打针导致患者死亡，应由医疗监管部门和司法机关共同管辖。具体分析如下：
一. 医疗监管部门的职责
- 监管医疗行为：根据《医疗机构管理条例》，医疗监管部门负责对医疗机构的医疗行为进行监管，确保医疗机构及其医务人员遵守相关法律法规和医疗规范。
- 调查处理医疗事故：当发生医疗事故，如诊所打针导致患者死亡时，医疗监管部门应迅速介入，对事故进行调查，查明事故原因，并依法作出处理。
- 例如，某地卫生健康委员会在接到诊所医疗事故报告后，会立即组织专家对事故进行调查，包括查阅病历、询问相关人员、进行现场勘查等，以确定事故性质和责任。
二. 司法机关的职责
- 刑事追责：如果诊所的医务人员因违反医疗规范或法律法规导致患者死亡，可能构成犯罪，如医疗事故罪。此时，司法机关应依法对涉案人员进行刑事追责。
- 民事赔偿：患者家属有权向诊所提出民事赔偿要求。司法机关将依据相关法律法规，如《民法典》中关于医疗损害责任的规定，对赔偿请求进行审理和判决。
- 例如，患者家属在得知亲人因诊所打针死亡后，可以向当地法院提起民事诉讼，要求诊所赔偿医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等损失。法院将依法审理此案，并根据事故责任、损失程度等因素作出判决。
三. 综合处理
在诊所打针导致患者死亡的情况下，医疗监管部门和司法机关应密切配合，共同处理事故。医疗监管部门负责调查事故原因和责任，司法机关则负责追究涉案人员的刑事责任和审理民事赔偿案件。两者相辅相成，共同维护医疗秩序和患者权益。
我建议，在发生此类事故时，患者家属应及时向医疗监管部门和司法机关报案，并积极配合调查工作。同时，也可以寻求专业律师的帮助，以更好地维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。