上梅街道办事处梅苑医院不可以办理亲子鉴定。亲子鉴定属于一项技术服务，需要由具备相关资质认证的专业机构进行。医院，包括梅苑医院，通常专注于医疗服务，并不提供亲子鉴定服务。

一. 医院不提供亲子鉴定服务的原因

1. 医院职能与亲子鉴定不匹配：医院的主要职能是提供医疗服务和健康保障，而亲子鉴定则是一项专业的技术服务，需要特定的设备、技术和资质认证。

2. 隐私保护需求：亲子鉴定涉及个人隐私，需要严格的隐私保护措施。医院在隐私保护方面可能无法满足亲子鉴定所需的特殊要求。

二. 如何选择合适的亲子鉴定机构

1. 查看资质认证：确保所选机构拥有国家卫生健康委员会颁发的《医疗机构执业许可证》以及司法部门认可的资质。

2. 了解技术实力：了解机构的检测技术和设备是否先进，是否能提供准确可靠的检测结果。一般来说，使用STR或SNP标记进行DNA分析的机构更可靠。

3. 考虑保密性：选择有严格隐私保护措施的机构，确保个人信息安全。

4. 评估服务态度：通过咨询服务、客户评价等了解机构的服务质量。

5. 关注检测周期和费用：根据个人需求选择合适的检测周期，并比较不同机构的费用，选择性价比高的服务。

三. 我的建议

如果您需要进行亲子鉴定，我建议您选择专业的第三方亲子鉴定机构。这些机构通常具备上述提到的资质认证、技术实力、保密性保障以及良好的服务态度。您可以通过网络搜索、咨询朋友或相关法律服务人员了解机构的口碑和评价，以便做出更明智的选择。如有进一步需要，您可以继续咨询我。