申请人并没有法定权利要求复议机关邮寄答复书证据。下面是我对此问题的详细分析：

法律依据与解释

根据《行政复议法》的相关规定，行政复议机关负责法制工作的机构应当自行政复议申请受理之日起七日内，将行政复议申请书副本或者行政复议申请笔录复印件发给被申请人。被申请人则需要自收到这些材料之日起十日内，提出书面答复，并提交当初作出具体行政行为的证据、依据和其他有关材料。这里明确的是，复议机关有义务将相关材料发送给被申请人，而并非直接发送给申请人。

对于申请人而言，他们有权在行政复议期间，按照规定查阅、复制被申请人提出的书面答复、作出行政行为的证据、依据和其他有关材料。但这一权利的实现，通常是需要申请人主动到复议机关进行查阅或复制的，而非复议机关主动邮寄。除非复议机关出于便民考虑或特定情况，选择邮寄这些材料给申请人，但这并非法律强制要求的义务。

实际操作建议

1. 主动询问：申请人可以主动联系复议机关，了解是否可以获取被申请人的答辩材料，以及获取的具体方式。
2. 现场查阅：在可能的情况下，申请人可以直接到复议机关的接待窗口或指定地点，现场查阅并复制所需的答辩材料。
3. 法律咨询：如果申请人在行政复议过程中遇到任何问题或困惑，可以及时咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。

综上所述，申请人并没有法定权利要求复议机关邮寄答复书证据。但申请人可以通过主动询问、现场查阅等方式，获取所需的答辩材料。如果在此过程中遇到任何问题，欢迎随时向我咨询。