当交通事故双方被认定为同等责任，而另一方却拖着不处理时，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 保留证据，积极协商：

   • 首先，务必保留好事故现场的证据，包括事故责任认定书、医疗费用清单、车辆损失评估报告等相关单据。
   • 尝试与对方进行协商，要求其配合处理后续事宜。可以通过电话、短信或书面方式明确表达您的诉求，并留存好沟通记录。

2. 申请交警部门调解：

   • 若协商无果，您可以向事故发生地的交警部门申请调解。交警部门会依据事故实际情况，在双方之间居中协调，推动双方达成赔偿协议。

3. 提起民事诉讼：

   • 如果调解仍然没有结果，您可以依法向法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要准备充分的证据来支持自己的诉求，包括事故证明、医疗费用凭证、车辆损失评估等。
   • 法院会依据提交的证据进行审理，并依法作出判决。若对方不履行判决，您有权申请强制执行，法院有权采取多种措施来强制对方履行赔偿义务。

4. 注意诉讼时效：

   • 请务必注意诉讼时效，一般为三年，从事故发生之日起计算。超过诉讼时效，您的权益可能无法得到法律的有效保护。

综上所述，面对交通事故同等责任另一方拖着不处理的情况，您应积极采取措施来维护自己的合法权益。通过保留证据、积极协商、申请交警部门调解以及提起民事诉讼等途径，您可以有效地推动问题的解决，并依法获得应有的赔偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。