网络公然侮辱他人的治安处罚立案标准，主要依据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定来执行。以下是关于这一问题的详细解答：

一、治安处罚标准

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条的规定，对于公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的行为，将处以五日以下拘留或者五百元以下罚款。若情节较重，如多次辱骂、造成较大精神伤害或引发较大社会影响等，将处五日以上十日以下拘留，并可以并处五百元以下罚款。

二、情节严重的判定

情节严重的判定通常涉及以下几个方面：

• 手段恶劣：使用恶毒、低俗语言进行长期、持续的辱骂。
• 后果严重：导致被辱骂者精神失常、自杀等严重后果。
• 影响较大：在网络上引发大量传播和关注，严重扰乱社会秩序，如被转发次数达到一定程度等。

三、与刑事犯罪的关系

如果公然侮辱他人的行为情节特别严重，可能构成侮辱罪，需要承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条的规定，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。

四、综合建议

1. 尊重他人：在网络和现实生活中，都应尊重他人的人格尊严和合法权益，避免使用侮辱性或攻击性的言语。
2. 合法解决纠纷：遇到争议或纠纷时，建议通过合法途径解决，如协商、调解、诉讼等。
3. 增强法律意识：了解相关法律法规，明确自己的行为边界，避免触犯法律。

综上所述，网络公然侮辱他人的行为将受到法律的制裁，具体处罚标准根据情节的严重程度而定。因此，建议广大网民在网络空间中文明交流，共同维护网络环境的和谐与稳定。