担保人在债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现担保物权的情形时开始履责。这一规定的法律依据主要来自于《中华人民共和国民法典》的相关条款。

法律依据：

1. 《中华人民共和国民法典》第三百九十二条：被担保的债权既有物的担保又有人的担保的，债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现担保物权的情形，债权人应当按照约定实现债权；没有约定或者约定不明确，债务人自己提供物的担保的，债权人应当先就该物的担保实现债权；第三人提供物的担保的，债权人可以就物的担保实现债权，也可以请求保证人承担保证责任。提供担保的第三人承担担保责任后，有权向债务人追偿。

2. 《中华人民共和国民法典》第六百八十七条：当事人在保证合同中约定，债务人不能履行债务时，由保证人承担保证责任的，为一般保证。一般保证的保证人在主合同纠纷未经审判或者仲裁，并就债务人财产依法强制执行仍不能履行债务前，有权拒绝向债权人承担保证责任。有下列情形之一的，保证人不得行使前款规定的权利：（一）债务人住所变更，致使债权人要求其履行债务发生重大困难的；（二）人民法院受理债务人破产案件或者债权人的破产申请；（三）债权人有证据证明债务人的财产不足以履行全部债务或者丧失履行债务能力；（四）保证人书面表示放弃本款规定的权利。

分析说明：

• 在债务人不履行到期债务时，无论是物的担保还是人的担保，担保人都需要按照约定或法律规定开始履责。
• 对于一般保证的保证人，虽然享有先诉抗辩权，但在特定情形下（如债务人住所变更、破产等），保证人不得行使该权利，而需承担保证责任。

结论补充说明：

担保人的履责时间并非固定不变，而是根据债务人与债权人之间的约定以及法律的规定来确定。因此，在具体案件中，需要仔细审查相关合同和法律条款，以确定担保人的具体履责时间。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。