医疗机构配牙疼药是否违法，需视具体情况而定。以下是对此问题的详细分析：
一. 医疗机构配药需具备合法资质
医疗机构配药需取得相应许可：根据《中华人民共和国药品管理法》的相关规定，医疗机构配制制剂，应当经所在地省、自治区、直辖市人民政府药品监督管理部门批准，取得医疗机构制剂许可证。无医疗机构制剂许可证的，不得配制制剂。
非法行医的界定：根据《中华人民共和国刑法》第三百三十六条，未取得医生执业资格的人非法行医，情节严重的，构成非法行医罪。因此，如果医疗机构未取得医生执业资格或医疗机构制剂许可证而私自配药，就可能触犯法律。
二. 配制的药物需符合国家规定
假药的界定：根据《中华人民共和国药品管理法》的相关规定，假药是指药品所含成份与国家药品标准规定的成份不符，或者以非药品冒充药品或者以他种药品冒充此种药品的。因此，医疗机构私自配制的牙疼药，如果成分不符合国家药品标准或存在其他假冒情形，就可能被认定为假药。
生产、销售假药的法律责任：根据《中华人民共和国药品管理法》第一百一十六条，生产、销售假药的，将面临没收违法生产、销售的药品和违法所得，责令停产停业整顿，吊销药品批准证明文件，并处违法生产、销售的药品货值金额十五倍以上三十倍以下的罚款。情节严重的，还可能被吊销药品生产许可证、药品经营许可证或者医疗机构制剂许可证，并十年内不受理其相应申请。
三. 合法配药的情形
医疗机构内部使用：医疗机构配制的制剂，应当是本单位临床需要而市场上没有供应的品种，并应当经所在地省、自治区、直辖市人民政府药品监督管理部门批准。合格的制剂凭医师处方在本单位使用，或在指定的医疗机构之间调剂使用。
遵守调配处方规定：依法经过资格认定的药师或者其他药学技术人员调配处方时，应当进行核对，不得擅自更改或者代用处方所列药品。
综上所述，医疗机构配牙疼药是否违法，关键在于其是否具备合法的行医资格和药品配制许可，以及所配制的药物是否符合国家规定。如果医疗机构未取得相应许可或配制的药物被认定为假药，则将面临严厉的法律处罚。因此，我建议医疗机构务必遵守相关法律法规，确保行医资格合法且药物质量符合国家标准。