不可以在质证阶段增加新的诉讼请求。根据《民事诉讼法》的相关规定，原告增加诉讼请求，被告提出反诉，第三人提出与本案有关的诉讼请求，必须在法庭辩论终结前提出，且所有新增诉求必须在举证期限届满前提出。法院对于新增诉求的处理方式有三种：

1. 合并审理：若新增诉求与本案具有直接关联性，且能保障当事人举证质证权利，法院可能会合并审理。
2. 另案处理：对于超出原审范围或可能影响审理效率的情形，法院可能会选择另案处理。
3. 不予准许：对于明显超出法定期限或存在恶意拖延诉讼的情形，法院将不予准许新增诉求。

因此，质证阶段已经属于法庭审理的一个后续环节，此时再提出新的诉讼请求是不符合法律规定的。建议在收到《举证通知书》时，立即核对诉求的完整性，以确保自身权利不受损害。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。