当盗窃案证据不足但嫌疑人认罪时，司法机关会采取一系列严谨和公正的处理方式。

首先，即便嫌疑人已经承认了盗窃行为，司法机关仍然会全面、细致地审查所有可用的证据。这是因为，在刑事诉讼中，口供虽然具有一定的证明作用，但仅有口供是不足以定案的。司法机关需要综合考量其他相关证据，如现场勘查情况、是否发现与案件相关的物品痕迹、监控视频、证人证言等，以形成完整的证据链。

如果在全面审查后，司法机关发现整体证据仍然未达到确实、充分的标准，那么根据“疑罪从无”的原则，案件在不同阶段会有不同的处理方式。在侦查阶段，可能会撤销案件；在审查起诉阶段，检察院可能会作出不起诉决定；在审判阶段，法院则应作出证据不足、指控的犯罪不能成立的无罪判决。

然而，这并不意味着案件就此终结。如果后续司法机关或相关机构发现了新的证据，这些证据能够补充证明犯罪事实，使证据达到定罪标准，那么司法机关仍然会继续依法追究嫌疑人的刑事责任。

总的来说，司法机关在处理此类案件时，会严格遵循证据规则和法律规定，确保处理的严谨性和公正性。这样既能保护无辜者不受冤枉，也能确保真正的犯罪者受到应有的法律制裁。同时，这也体现了法律对于人权和公正的高度重视。