宪法宣誓制度的落实主要由各级人大常委会监督。具体来说：
全国人大及其常委会的监督：全国人大及其常委会作为最高国家权力机关，对宪法宣誓制度的实施具有最高监督权。它们可以通过制定相关法律、法规，以及听取和审议相关报告等方式，对宪法宣誓制度的落实情况进行监督。
地方各级人大常委会的监督：地方各级人大常委会在各自行政区域内，也负有监督宪法宣誓制度落实的职责。它们可以通过组织视察、调研、执法检查等活动，了解并掌握宪法宣誓制度的实施情况，对于发现的问题及时提出整改意见，确保制度得到有效执行。
相关国家机关的配合：在监督宪法宣誓制度落实的过程中，各级人大常委会还需要与监察机关、司法机关等相关国家机关密切配合。这些机关在各自职责范围内，对违反宪法宣誓制度的行为进行查处，为人大常委会的监督提供有力支持。
综上所述，宪法宣誓制度的落实是一个涉及多方面、多层次的监督过程，需要各级人大常委会、相关国家机关以及社会各界的共同努力，以确保宪法宣誓制度得到有效实施，维护宪法的权威和尊严。如果你对此有更多疑问或需要进一步的法律咨询，可以直接向我提问。