损坏公共设施，园林绿化局确实有权进行处罚。具体来说：

1. 法律依据：

   • 根据《城市绿化条例》(2017年修订)第二十七条第四项的规定，违反条例规定，损坏城市绿化设施的，由城市人民政府城市绿化行政主管部门或者其授权的单位责令停止侵害，可以并处罚款；造成损失的，应当负赔偿责任。
   • 《新疆维吾尔自治区实施〈城市绿化条例〉办法》也有类似规定，损坏城市绿化设施的，由城市绿化行政主管部门给予警告，责令停止侵害，并可处以罚款。

2. 处罚流程：

   • 立案责任：发现涉嫌损坏城市绿化设施的违法行为后，相关部门会进行审查，决定是否立案。
   • 调查责任：对立案的案件，会指定专人负责，及时组织调查取证，全面、客观地收集证据。
   • 审查责任：案件调查终结后，会对案件违法事实、证据等方面进行审查，提出处理意见。
   • 告知责任：作出行政处罚决定前，会制作《行政处罚告知书》送达当事人，告知其拟作出行政处罚的事实、理由及结果，并告知当事人享有陈述、申辩的权利。
   • 决定责任：制作《行政处罚决定书》，并在规定时间内送达当事人。

3. 处罚措施：

   • 警告、责令停止侵害。
   • 并处罚款，具体金额根据损坏程度和当地规定而定。
   • 造成损失的，需要承担赔偿责任。

综上所述，损坏公共设施中的园林绿化设施，园林绿化局或相关行政主管部门是有权进行处罚的，包括警告、罚款以及要求赔偿损失等措施。如果您面临此类问题或有其他相关法律疑问，可以直接向我咨询。