不及时刑事立案可能会引发一系列严重的后果。以下是对这些后果的详细解释：
被害人申请复议的权利：
- 当公安机关接到报案后，如果经审查认为存在犯罪事实，且需要追究刑事责任，同时也属于自身的管辖范围，却选择不予立案，此时被害人有权申请复议。这是法律赋予被害人的合法权益，以确保司法程序的公正性。
上级公安机关的监督：
- 上级公安机关有权责令下级公安机关立案。这一规定体现了上级对下级的监督和管理职责，旨在防止公安机关因各种原因而怠于履行立案职责，确保被害人的诉求能够得到及时处理。
向检察院申诉：
- 如果公安机关无故不立案，且存在违法违纪行为，被害人还可以向检察院申诉。检察院作为法律监督机关，有权要求公安机关说明不立案的理由。如果理由不成立，检察院应通知公安机关立案，以此确保公安机关依法履行职责，维护法律的严肃性和权威性。
对撤销案件的申诉：
- 若公安机关已经立案，但随后又撤销了案件，而被害人认为撤销案件的行为不当，同样可以向检察院申诉。检察院有权要求公安机关说明撤销案件的理由，若认为理由不成立，有权通知公安机关重新立案或者撤销对案件的撤销决定。
综上所述，不及时刑事立案不仅可能损害被害人的合法权益，还可能影响司法程序的公正性和法律的严肃性。因此，公安机关在接到报案后，应依法及时立案处理，确保犯罪行为得到应有的惩处，维护社会的公平正义。如果你或你身边的人遇到了类似的情况，建议尽快咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。