涉嫌偷越国边境罪被刑事拘留后的流程是一个涉及多个法律环节的过程。以下是对此流程的详细解析：

一、拘留的初步处理

1. 拘留条件：公安机关对于正在预备犯罪、实行犯罪或在犯罪后即时被发觉的，以及符合其他法定情形的现行犯或重大嫌疑分子，可以先行拘留。在执行拘留时，公安机关必须向被拘留者出示拘留证书。

2. 送往看守所：执行拘留后，应立即将被拘留者送往看守所关押，最晚不得超过24小时。

3. 通知家属：除非因无法通知或涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪而通知可能会妨碍侦查工作，公安机关应在拘留后24小时内通知被拘留者的家属。

4. 审讯：公安机关应在拘留后的24小时内对被拘留者进行审讯。若发现不应拘留的情况，必须立即释放并发放释放证明书。

二、拘留时间的规定

1. 一般情况：公安机关对被拘留的人，若认为需要逮捕，应在拘留后的3日以内提请人民检察院审查批准。检察院则需在接到提请批准逮捕书后的7日以内作出决定。因此，刑事拘留的期限在正常情况下最长为10日。

2. 特殊情况：对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至30日。加上检察院的7日审查批捕时间，刑事拘留的最长期限可达37日。

三、后续法律流程

1. 审查起诉：若检察院批准逮捕，案件将继续进行侦查、起诉等程序。公安机关将进一步收集证据，完善案件材料，并移送检察院审查起诉。

2. 审判阶段：案件进入审判阶段后，法院将根据证据和法律规定对案件进行审理，并作出最终判决。若被判定有罪，将依据《中华人民共和国刑法》的相关规定进行处罚。

3. 释放或采取其他措施：若检察院不批准逮捕，公安机关应立即释放被拘留人，并通知检察院。对于需要继续侦查且符合取保候审、监视居住条件的，将依法采取相应措施。

四、法律后果

根据《中华人民共和国刑法》第三百二十二条的规定，偷越国（边）境情节严重的，将处一年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。若为参加恐怖活动组织、接受恐怖活动培训或实施恐怖活动而偷越国（边）境的，将处一年以上三年以下有期徒刑，并处罚金。

综上所述，涉嫌偷越国边境罪被刑事拘留后的流程涉及多个法律环节，包括拘留的初步处理、拘留时间的规定、后续法律流程以及可能的法律后果。在整个过程中，被拘留者的合法权益应得到充分保障，同时案件也将依法进行公正处理。如需更具体的法律建议或帮助，请务必咨询专业的法律人士。