判决书下来后，第三方一般不可以就同一事实和请求再次起诉。这是因为判决书是法院对案件的法定裁决，具有法律效力和终局性。若原判决已妥善处理相关争议且具有既判力，根据“一事不再理”原则，当事人（包括第三方）不能就同一事实和请求再次起诉，这是为了维护司法判决的权威性和稳定性，避免同一纠纷的重复审理。

然而，也存在一些特殊情况。例如，如果原判决存在错误或遗漏关键事实，导致当事人的合法权益未得到充分保障，那么当事人（包括作为第三方的当事人）可以通过审判监督程序等合法途径寻求救济，而非另行起诉。这样可以在保障司法秩序的基础上，及时纠正原判决的瑕疵，维护当事人的合法权益。

另外，如果判决书下来后，出现了新的事实、证据，或者当事人基于新的事实和理由提出新的诉讼请求，且这些新的诉讼请求与前诉的诉讼标的、诉讼请求不同，或者后诉的诉讼请求实质上不否定前诉裁判结果，那么在这种情况下，第三方是有可能另案起诉的。

综上所述，判决书下来后，第三方是否能起诉取决于具体情况。如果涉及新的事实、证据或诉讼请求，且符合法律规定的起诉条件，那么第三方是有可能另案起诉的。但如果只是就同一事实和请求再次起诉，则通常会被法院驳回。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。