要求行政机关履行法定职责的案由，主要基于行政机关未依法履行其应承担的法定职责，从而导致行政相对人的权益得不到保护或无法实现。以下是对此问题的详细分析：
一、核心结论
要求行政机关履行法定职责的案由，主要是行政机关在依法应当履职的情况下消极不作为，即未履行、未完全履行、迟延履行或拒绝履行其法定职责，使得行政相对人的合法权益受到损害或无法实现。
二、法律依据
《最高人民法院印发〈关于行政案件案由的暂行规定〉的通知》：
- 第五条第（六）项规定，不履行法定职责是指负有法定职责的行政机关在依法应当履职的情况下消极不作为，从而使得行政相对人权益得不到保护或者无法实现的违法状态。
《行政复议法》：
- 第十一条以举例形式明确了若干行政机关不履行法定职责的情形，公民、法人或者其他组织可以依法申请行政复议，如申请行政许可，行政机关在法定期限内不予答复；申请行政机关履行保护人身权利、财产权利、受教育权利等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行、未依法履行或者不予答复等。
三、具体情形
行政机关未予答复：
- 行政相对人向行政机关提出申请，要求履行某项法定职责，但行政机关在法定期限内未予答复，即构成不履行法定职责。
行政机关拒绝履行：
- 行政相对人提出申请后，行政机关明确拒绝履行其法定职责，这也是不履行法定职责的一种表现。
行政机关未完全履行或迟延履行：
- 行政机关虽然开始履行法定职责，但未完全履行或迟延履行，导致行政相对人的权益未能得到充分保护或及时实现。
行政机关履责不当：
- 行政机关在履行法定职责过程中，存在履责不当的情况，如违反法定程序、超越职权范围等，这也可能构成不履行法定职责。
四、法律后果与救济途径
法律后果：
- 行政机关不履行法定职责，可能导致行政相对人的合法权益受到损害，行政机关因此需要承担相应的法律责任，包括被行政复议机关撤销或变更具体行政行为、被法院判决履行法定职责等。
救济途径：
- 行政相对人认为行政机关不履行法定职责的，可以先向行政机关提出申请，要求其履行法定职责。行政机关在接到申请之日起60日内拒绝履行、未依法履行或者不予答复的，行政相对人可以依法向行政复议机关申请行政复议，或者向人民法院提起行政诉讼。
综上所述，要求行政机关履行法定职责的案由主要是基于行政机关未依法履行其应承担的法定职责，行政相对人可以通过行政复议或行政诉讼等救济途径来维护自己的合法权益。