羁押必要性审查的法定机关是人民检察院。具体来说：
审查主体与职责：
- 羁押必要性审查主要由人民检察院的捕诉部门负责，刑事执行、控告申诉、案件管理、检察技术等部门予以配合。在侦查阶段，由侦查监督部门负责；在审判阶段，由公诉部门负责。
- 公安机关在移送审查起诉前，也对羁押的必要性进行评估，由办案部门负责，法制部门统一审核。同时，看守所在工作中发现不适宜继续羁押的情形时，应及时提请办案机关变更强制措施，并可建议人民检察院开展羁押必要性审查。
审查启动程序：
- 羁押必要性审查的启动程序包括依职权启动、依申请启动和看守所建议三种方式。人民检察院可以主动进行羁押必要性审查，也可以基于犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属、辩护人或值班律师的申请而启动审查。同时，看守所在发现不适宜继续羁押的情形时，也可以提请办案机关变更强制措施，并建议人民检察院审查。
审查内容与标准：
- 羁押必要性审查应全面考虑犯罪嫌疑人、被告人的涉嫌犯罪事实、主观恶性、悔罪表现、案件进展情况、可能判处的刑罚、身体状况以及有无社会危险性等因素。对于患有严重疾病、生活不能自理、怀孕或正在哺乳婴儿的妇女、未成年人的唯一抚养人等特殊情形的犯罪嫌疑人、被告人，应立即开展羁押必要性审查。
综上所述，羁押必要性审查的法定机关是人民检察院，其通过全面的审查程序和内容，确保对犯罪嫌疑人、被告人的羁押措施合法、必要且适当。如果你或你的亲友面临羁押问题，建议及时向我咨询，以维护自身合法权益。