在涉及打架事件时，是否对当事人进行当场拘留，并非由谁先动手这一单一因素决定，而是需要根据具体情况进行综合判断。以下是对此问题的详细解答：

1. 不构成犯罪的情况：

   • 情节较轻，可不予拘留：

     • 若双方仅发生轻微肢体冲突，未造成明显伤害，并能当场和解或在公安机关调解下达成和解协议，公安机关可对双方进行批评教育，不予处罚，即不进行拘留。
     • 对于因民间纠纷引起的打架斗殴等行为，若情节较轻且行为人具有主动消除或减轻违法后果、取得被侵害人谅解等法定从轻、减轻情节，公安机关也可依法决定不予拘留。

   • 情节较重，需予以拘留：

     • 若打架行为导致他人身体受伤，达到轻微伤及以上程度，公安机关可对行为人处以拘留等行政处罚。
     • 即使伤害后果不严重，但若行为人多次打架或存在持械斗殴、在公共场所闹事等恶劣情节，公安机关也可能依法采取拘留措施。

2. 构成犯罪的情况：

   • 若打架行为造成他人重伤、死亡等严重后果，可能构成故意伤害罪、故意杀人罪等犯罪。此类行为人将被依法追究刑事责任，通常会先被刑事拘留，后续可能面临逮捕、判刑等法律后果。

综上所述，打架的人是否要当场拘留起来，取决于打架的具体情节、伤害后果以及行为人的态度等因素。在处理打架事件时，公安机关会依据相关法律法规进行综合判断，并作出相应的处理决定。因此，建议大家在遇到纠纷时保持冷静，通过合法途径解决，避免冲动行事导致不必要的法律后果。