事业单位工作人员住院期间是可以请病假的。以下是具体的分析和说明：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，员工因病或者非因工负伤需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。这一规定同样适用于事业单位的工作人员。

2. 病假申请流程：

   • 事业单位工作人员如需请病假，通常需要按照单位内部的请假流程进行申请。这可能包括提交病假申请单、提供医疗证明（如医院出具的病假条或诊断书）等步骤。
   • 具体流程可能因单位而异，建议咨询所在单位的人事部门或查阅相关规章制度以获取准确信息。

3. 病假期间的待遇：

   • 病假期间，事业单位工作人员的工资、福利待遇等可能会根据单位的规定和当地的法律法规有所调整。一般来说，病假期间会按照一定比例发放工资，但具体比例和发放方式需参照单位规定和当地政策。

4. 注意事项：

   • 请病假时，应确保提供的医疗证明真实有效，否则可能会面临单位的纪律处分。
   • 病假期间，应遵守单位的相关规定，如及时报告病情、按时返岗等。

综上所述，事业单位工作人员在住院期间是可以请病假的，但具体流程、待遇等需根据单位规定和当地法律法规来确定。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。