结论前置：送养亲戚后，被送养的子女在法律上一般没有赡养亲生父母的义务，这一结论基于《中华人民共和国民法典》的相关规定，并在考虑特殊情况下依然成立。
详细分析：
合法收养关系的法律效果：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百一十一条的规定，自收养关系成立之日起，养父母与养子女间的权利义务关系适用本法关于父母子女关系的规定；养子女与生父母以及其他近亲属间的权利义务关系，因收养关系的成立而消除。
- 这意味着，在合法的收养关系确立后，被送养的子女在法律上与亲生父母的权利义务关系即告终止，因此不再负有法定的赡养义务。
收养关系不成立或特殊情况的考量：
- 如果送养行为没有满足法律规定的收养条件和程序，收养关系不成立，那么被送养的子女与亲生父母之间的权利义务关系并未解除，此时可能需要承担赡养责任。
- 在某些特殊情况下，如存在明确的书面协议约定被送养的子女仍需承担对亲生父母的赡养义务，且该约定不违反法律的强制性规定，那么被送养的子女可能需要履行这一约定的赡养义务。但这种情况较为少见。
道德和人情因素的考量：
- 虽然法律上可能免除了赡养义务，但从道德和人情的角度出发，有些被送养的子女可能会自愿选择赡养亲生父母。这种行为值得尊重，但并不构成法律上的强制要求。
总结：综上所述，送养亲戚后，被送养的子女在法律上一般没有赡养亲生父母的义务。这一结论基于收养关系的法律效果以及民法典的相关规定。然而，在收养关系不成立或存在特殊情况以及道德和人情因素考量的情况下，被送养的子女可能需要承担对亲生父母的赡养责任。但请注意，这些情况并不改变法律上的一般规定。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。