当您购买的鞋子存在质量问题而商家拒绝退款时，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：
一、与商家协商
保留关键证据：
- 在与商家协商之前，请务必收集并保留所有能证明鞋子质量问题的证据。这包括清晰的照片、视频，以及购物凭证如发票、收据或订单截图等。
明确表达诉求：
- 以平和、理性的态度与商家沟通，详细说明鞋子的具体问题，并明确提出您的退货要求。
- 可以提及《中华人民共和国消费者权益保护法》中赋予消费者的相关权利，如商品应当符合质量要求，消费者有权要求退货等。
二、向平台或消费者协会投诉
如果与商家的协商没有结果，您可以通过以下渠道进行投诉：
电商平台投诉：
- 如果您是在线上购买的鞋子，应利用平台的投诉机制。详细说明情况，上传相关证据，并请求平台介入处理。
消费者协会投诉：
- 拨打12315消费者投诉举报专线，或通过全国12315平台进行投诉。提供详细信息及证据，消费者协会会协助您进行调解。
三、行政投诉与监管
对于严重质量问题或商家拒不配合的情况，您可以向当地市场监督管理局进行投诉：
- 市场监督管理局会对您的投诉进行调查，并可能采取相应的行政措施来维护您的合法权益。
四、法律途径
如果以上途径均未能解决问题，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益：
发送律师函：
- 作为正式的法律警告，您可以委托律师向商家发送律师函。律师函会指出商家的违法行为及可能的法律后果，促使其主动解决问题。
申请仲裁或提起诉讼：
- 如果双方有仲裁协议，您可以按协议向指定的仲裁机构提请仲裁。仲裁结果具有法律约束力。
- 如果无仲裁协议或仲裁不成，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要提交充分的证据来支持自己的主张，由法院依法进行判决。
五、注意事项
在整个维权过程中，请注意以下几点：
- 全程保存证据：无论是沟通记录、投诉过程还是法律程序中的每一步，都要确保有相关证据的完整保存。这将为您的维权提供有力的支持。
- 了解法律法规：熟悉《中华人民共和国消费者权益保护法》等相关法律法规，明确自身权利和商家的义务。这将帮助您更好地维护自己的合法权益。
综上所述，面对鞋子质量问题且商家拒绝退款的情况，您应通过协商、投诉、行政手段和法律途径等多种方式综合施策。保持冷静、理性，并充分利用法律武器来捍卫自己的权益是至关重要的。