检察机关在诉讼监督中的职责是全方位且多层次的，旨在确保法律的正确实施和维护社会公平正义。以下是对检察机关在刑事诉讼、民事诉讼及行政诉讼中监督职责的详细阐述：
一、刑事诉讼中的监督职责
立案监督：检察院负责监督公安机关的立案活动，确保其依法及时立案侦查。若认为公安机关应当立案而不立案，检察院可以要求其说明不立案的理由；若理由不成立，则通知其立案，公安机关必须执行。同时，对不应立案而立案的情况，检察院也有权监督并要求撤销案件。
侦查监督：检察院对侦查机关的侦查活动是否合法进行监督，包括审查逮捕、审查起诉等环节，确保侦查活动依法进行，并排除非法方法收集的证据。
审判监督：检察院对法院的一审、二审、再审判决和裁定进行监督，检查法庭审理过程是否违反法定程序，判决、裁定认定事实是否正确，适用法律是否准确，并依法提出抗诉或检察建议以纠正错误。
执行监督：检察院对刑罚的执行活动进行监督，包括对看守所、监狱等场所的管理和教育改造工作，以及社区矫正工作的执行情况，同时对减刑、假释、暂予监外执行等刑罚变更执行活动进行合法性监督。
二、民事诉讼中的监督职责
在民事诉讼中，检察院对法院的诉讼活动进行全面监督。若发现生效判决、裁定、调解书存在法定错误情形，或审判程序中审判人员有违法行为，以及执行活动中有违法情形，检察院可以依法提出抗诉或检察建议，要求法院纠正错误或改进工作。
三、行政诉讼中的监督职责
在行政诉讼中，检察院同样承担监督职责。对生效行政判决、裁定、调解书，行政审判程序中审判人员的违法行为，以及行政执行活动，检察院可以依法进行监督，并通过抗诉或检察建议等方式，要求相关机关纠正错误或改进工作。
综上所述，检察机关在诉讼监督中的职责是全面而深入的，不仅涉及刑事诉讼、民事诉讼和行政诉讼的各个环节，还包括对刑罚执行活动的监督。这些监督职责的履行，有效确保了法律的正确实施，维护了社会的公平正义。若您有相关法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。