检察院监督公安执行案件的方式是多元且全面的，旨在确保刑事司法活动的合法性和公正性。以下是对检察院如何监督公安执行案件的详细解答：

一、监督的重要性与法律依据

在我国刑事司法体系中，检察院对公安机关的监督是一项重要制度，由宪法和法律赋予人民检察院。这一制度旨在保障刑事诉讼活动的合法性、公正性，维护社会公共利益和当事人的合法权益。检察院作为法律监督者，其监督职能贯穿于公安机关刑事诉讼的多个环节。

二、立案监督

1. 监督范围：检察院对公安机关的立案与不立案决定均进行监督。这意味着，无论公安机关是否决定立案，其决策都在检察院的监督之下。
2. 监督程序：若检察院发现或接到举报称公安机关应立案而未立案，将要求公安机关说明不立案的理由。若检察院认为理由不成立，将通知公安机关立案，公安机关必须执行。

三、侦查活动监督

1. 监督内容：检察院对公安机关的侦查行为进行全面监督，包括但不限于侦查行为的合法性、证据的收集与保管、犯罪嫌疑人的权益保障等。特别是针对刑讯逼供、诱供、非法收集证据、伪造、隐匿、销毁证据等违法行为，检察院将进行严格监督。
2. 纠正措施：若发现违法行为或不当行为，检察院将提出纠正意见或建议，要求公安机关改正。在某些严重情况下，检察院还可直接撤销错误决定或向有关机关提出追究责任建议。

四、审查批捕监督

1. 监督流程：公安机关提请逮捕犯罪嫌疑人时，需将相关材料移送同级人民检察院审查批准。检察院将对案件进行全面审查，包括犯罪嫌疑人的犯罪事实、证据是否充分、是否符合逮捕条件等。
2. 不批准处理：对于不批准逮捕的案件，检察院将说明理由，并视情况通知公安机关补充侦查或采取其他措施。

五、审查起诉监督

1. 监督职责：公安机关侦查终结的案件需移送检察院审查起诉。检察院将对案件的事实、证据、法律适用等进行全面审查，以确保案件的合法性和公正性。
2. 补充侦查与自行侦查：若检察院认为案件存在犯罪事实不清、证据不足或遗漏罪行、同案犯罪嫌疑人等情形，可退回公安机关补充侦查或自行侦查。这一环节确保了案件在起诉前达到事实清楚、证据确实充分的标准。

六、其他监督方式

除了上述监督方式外，检察院还可以通过参与重大或特殊侦查活动、审查处理诉讼参与者关于侦查机关或人员侵权的申诉等方式，进一步加强对公安机关的监督力度。这些方式有助于检察院更深入地了解公安机关的侦查活动，及时发现并纠正存在的问题。

综上所述，检察院对公安机关的监督是我国刑事司法体系中不可或缺的一部分。通过全面的监督方式和严格的监督程序，检察院确保了刑事司法活动的合法性和公正性，有效维护了社会公共利益和当事人的合法权益。