当您付款后对方不给开发票时，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：

一、明确交易约定与了解法定义务

首先，您需要确认向对方付款是基于何种交易或服务，并核查双方在交易发生时是否有明确的约定需要开具发票。同时，根据《中华人民共和国发票管理办法》，无论是否有明确约定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方均有向付款方开具发票的法定义务。

二、尝试沟通协商并保留证据

1. 友好沟通：您可以先与对方进行友好沟通，明确提出需要发票的意愿，并强调这是对方的法定义务。同时，尝试了解对方未开票的具体原因，看是否是出于疏忽、延迟还是其他原因。

2. 保留关键证据：在沟通过程中，请务必保留好所有相关的证据，包括聊天记录、通话录音、交易凭证（如银行转账记录、微信支付记录、支付宝支付记录等）以及任何能够证明交易真实性的材料。这些证据在后续处理纠纷时将起到至关重要的作用。

三、向税务机关进行投诉

如果沟通无果，您可以向当地税务机关进行投诉。投诉方式多样，包括拨打12366纳税服务热线、前往办税服务厅现场举报，或通过税务机关的官方网站、手机APP等线上渠道进行投诉。在投诉时，请提供您之前保留的所有证据材料，以便税务机关能够迅速且准确地进行调查核实。税务机关通常会在规定的时间内（例如30个工作日）将处理结果反馈给您。

四、考虑利用网络平台投诉机制（如适用）

如果您是在网络平台进行的交易，并且该平台设有相关的投诉机制，您也可以考虑通过平台来投诉对方的不开票行为。平台可能会介入调查，并协助您解决问题，或者至少提供必要的支持和证明。

五、采取法律途径维权

1. 发送律师函：若税务机关的处理结果未能满足您的诉求，或者对方仍然拒绝开具发票，您可以考虑委托专业律师向对方发送律师函。律师函具有法律效力和一定的威慑力，往往能够促使对方重视问题并积极寻求解决方案。

2. 提起诉讼：如果律师函也未能解决问题，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明交易的真实性、对方拒绝开具发票的事实以及因此给您造成的损失。法院在审理后，如果认定对方应当开具发票而未开具，会依法判决对方履行开票义务，并可能要求其承担相应的违约责任和赔偿责任。

六、注意事项

• 在处理此类纠纷时，请保持冷静和理性，避免采取过激行为导致不必要的麻烦。
• 不同地区的税务机关在处理投诉的具体流程和要求可能会有所差异，因此在实际操作过程中，建议详细咨询当地税务机关并遵循其指导。
• 始终牢记保留好相关证据是维护自己合法权益的关键所在。

综上所述，面对对方不开发票的情况，您应该明确自己的权益和对方的义务，采取逐步升级且合理的措施来解决问题，并确保在整个过程中始终保留好相关证据以备不时之需。