爱尔眼科医院是私立的，属于营利性医疗机构。以上饶爱尔眼科医院为例，它是中国大型的眼科医疗集团、IPO上市的医疗机构——爱尔眼科医院集团旗下的百余家连锁专业眼科医院之一。同样地，南昌爱尔眼科医院也被明确标识为民营医疗机构。因此，可以确定爱尔眼科医院是私立的。