配偶死亡后，其遗产的继承顺序主要依据《中华人民共和国民法典》的相关规定来确定，具体如下：
遗嘱继承优先：
- 如果被继承人生前立有合法有效的遗嘱，那么遗产的分配将严格遵循遗嘱的内容进行。遗嘱可以指定特定的继承人，也可以对遗产的分配方式作出具体安排。遗嘱继承的法律效力优先于法定继承顺序。
法定继承顺序：
- 第一顺序继承人：包括配偶、子女（婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女）和父母（生父母、养父母和有扶养关系的继父母）。在同一顺序中，各继承人通常应当按人数均等分配遗产数额。但也会考虑各继承人的具体情况，如生活困难、对被继承人尽了主要扶养义务等因素，适当调整遗产分配。
- 第二顺序继承人：在第一顺序继承人不存在或全部放弃继承权的情况下，由兄弟姐妹（同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹）、祖父母、外祖父母继承。
特殊情况下的遗产分配：
- 胎儿预留份额：如果被继承人死亡时，其配偶已怀孕，那么在遗产分割时，应当为胎儿保留继承份额。如果胎儿出生时是死体的，保留的份额按照法定继承办理。
- 对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人：在分配遗产时，应当给予特别照顾，确保其基本生活需求得到满足。
- 对被继承人尽了主要扶养义务或与被继承人共同生活的继承人：可以适当多分遗产，以体现对其付出和贡献的认可。
- 有扶养能力和条件但不尽扶养义务的继承人：在分配遗产时，应当不分或少分，以此作为对其不履行赡养义务的法律制裁。
- 债务清偿：在遗产分配之前，必须先清偿被继承人生前所欠的债务和税款等费用。这是保障债权人权益的重要法律规定。
法律建议：
- 在处理配偶死亡后的遗产继承问题时，建议首先查看被继承人是否留有合法有效的遗嘱。如果有遗嘱，则按照遗嘱的内容进行分配。
- 如果没有遗嘱或遗嘱无效，则按照法定继承顺序进行分配。在分配过程中，应充分考虑各继承人的实际情况和贡献，确保遗产分配的公平性和合理性。
- 如果遇到复杂情况或争议，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
可能遇到的法律后果：
- 如果继承人之间因遗产分配问题发生争议，可能会引发诉讼，导致家庭关系紧张甚至破裂。
- 如果继承人隐瞒、转移或侵占遗产，可能会面临法律责任，包括返还遗产、赔偿损失等。
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