结论前置：劳动合同到期后，若单位不再续签但员工想继续上班且单位未明确拒绝的，双方会形成事实劳动关系。不过，为了保障自身权益，员工应尽快与单位协商续签合同事宜；若单位拒绝续签或支付经济补偿，员工可通过合法途径维权。

一、劳动关系的存续与事实劳动关系的形成

1. 劳动合同到期即终止：从法律层面讲，劳动合同到期时，双方的劳动关系原则上会自然终止。此时，如果员工继续上班而没有单位的明确同意，理论上单位可以拒绝支付工资并追究相关责任。

2. 事实劳动关系的形成：尽管合同到期，但如果员工继续上班且单位未提出异议，尤其是单位通过实际行为（如继续安排工作、正常发放工资等）表明同意延续劳动关系的，那么从原劳动合同期满次日起，双方就形成了事实劳动关系。这种情况下，员工仍享有劳动者的相关权益，如获得劳动报酬、享受社会保险等。

二、单位的责任与义务

1. 支付双倍工资差额：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，若单位在劳动合同期满后超过一个月仍未与员工签订书面劳动合同，而员工继续在单位工作，那么从第二个月起，单位应当向员工每月支付两倍的工资。这一规定旨在保护员工的合法权益，防止单位通过不续签合同的方式逃避法律责任。

2. 补订书面劳动合同：对于已经形成事实上劳动关系的员工，单位应当及时与其补订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。这有助于减少劳动争议的发生，维护劳动关系的稳定。

三、员工的权利与应对措施

1. 要求续签合同：员工有权主动向单位提出续签合同的要求。若单位拒绝或拖延续签，员工可以通过协商、投诉或申请劳动仲裁等方式来维护自己的权益。

2. 经济补偿的适用：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条的规定，除单位维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意续订的情况外，劳动合同期满终止时，单位应向员工支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

3. 保留证据：在继续上班或处理劳动合同相关事宜时，员工应注意保留好能证明自己与单位存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作邮件等。这些证据在可能的劳动纠纷中至关重要。

4. 合法维权：如果单位拒绝续签合同、支付经济补偿或存在其他违法行为，员工可以通过与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等合法途径来维护自己的权益。在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，依法行事。

四、实际案例与风险提示

• 实际案例：假设员工A的劳动合同于2023年1月1日到期，但A继续在原岗位工作至3月，期间公司未表示反对且正常发放工资。那么，A与公司在此期间存在事实劳动关系。若公司未在2月1日前与A续签书面合同，则A有权从2月起主张双倍工资。

• 风险提示：对于员工而言，缺乏书面合同可能使维权难度增加，如在工资争议、工伤认定等场景中证据不足。因此，员工应尽快与单位协商签订书面合同以保障自身权益。同时，员工也应了解并熟悉相关法律法规，以便在权益受到侵害时能够及时有效地维权。

综上所述，劳动合同到期后的处理问题涉及多个法律层面，包括劳动关系的存续与事实劳动关系的形成、单位的责任与义务、员工的权利与应对措施等。作为员工，应充分了解相关法律法规和政策规定，并根据自身实际情况采取合适的行动来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。