结论：债务人死亡后，其债务的承担主要遵循以下原则：首先由债务人的遗产承担；其次，若继承人选择继承，则在继承遗产价值范围内承担；再者，若存在保证人，则保证人需按保证合同约定承担保证责任；最后，若为夫妻共同债务，配偶需承担连带清偿责任。下面我将从这几个方面为你详细阐述。

一、由债务人的遗产承担

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债务人死亡后，其遗产应首先用于清偿其依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，债权人有权从债务人的遗产中优先受偿。若遗产足以清偿全部债务，则债权人的债权得到完全满足；若遗产不足以清偿全部债务，则债务在遗产范围内进行清偿，剩余部分通常不再由其他无关人员承担。

举例：假设甲欠乙10万元，甲死后留下8万元遗产，且甲的子女继承了这8万元遗产，那么甲的子女需要在8万元的范围内偿还乙的债务。

二、由继承人承担

继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这是继承人的一项法定义务。如果继承人放弃继承权，则对被继承人依法应当缴纳的税款和债务不负清偿责任。这是继承人的一项权利，也是对其权益的保护。

举例：继续上面的例子，如果甲的子女选择放弃继承这8万元遗产，那么他们就不需要对甲的债务承担清偿责任，此时应用甲的遗产来偿债。

三、存在保证人的情况

如果债务有保证人，那么保证人需按照保证合同的约定承担相应的保证责任。保证责任分为一般保证和连带责任保证两种。在一般保证中，保证人享有先诉抗辩权，即债权人需先对债务人的遗产进行主张，仍不能履行债务后，方可要求保证人承担保证责任；而在连带责任保证中，债权人可直接要求保证人承担保证责任，保证人没有先诉抗辩权。

举例：假设甲向乙借款时，丙作为保证人提供了担保。甲死后，如果甲的遗产不足以清偿全部债务，且丙提供的是连带责任保证，那么乙可以直接要求丙承担保证责任，丙在承担保证责任后，有权向甲的继承人在遗产范围内追偿。

四、夫妻共同债务

如果该债务被认定为夫妻共同债务，那么债务人的配偶应当承担连带清偿责任。夫妻共同债务包括夫妻双方共同签名或夫妻一方事后追认等共同意思表示所负的债务，以及夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务。

举例：假设甲和丁是夫妻，甲在婚姻关系存续期间向乙借款用于家庭共同生活，如购买家具等。甲死后，这笔债务应被认定为夫妻共同债务，丁需要承担连带清偿责任，不受甲遗产情况的影响。

五、特殊情况：无人继承的遗产

如债务人留下的遗产无人继承，也无人接受遗赠，则这些遗产归国家或集体组织所有。在此情况下，死者的债务由接受遗产的国家或集体组织在遗产的实际价值范围内清偿。

总结与建议：

债务人死亡后的债务承担问题涉及多个方面，包括遗产承担、继承人承担、保证人责任和夫妻共同债务等。在处理这类问题时，建议根据具体情况进行具体分析，并遵循相关法律法规的规定。如果你作为债权人遇到此类问题，建议先梳理清楚债务人的遗产情况、继承人情况、是否存在保证人以及债务是否属于夫妻共同债务等关键信息，然后根据这些信息采取相应的法律措施来维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。