在私人小店辞退员工的情况下，是否需要支付经济补偿以及补偿的具体标准，主要取决于辞退的原因和相关的法律规定。以下是对这一问题的详细解答：

一、需要支付经济补偿的情形

1. 协商解除劳动合同：

   • 如果私人小店与员工协商一致解除劳动合同，根据《劳动合同法》的相关规定，小店需要支付经济补偿。
   • 补偿标准通常按照员工在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。

2. 无过失性辞退：

   • 如果员工因病或非因工负伤无法继续工作，或者不能胜任工作且经过培训或调整岗位后仍不能胜任，或者劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且双方协商未果，小店在提前三十日通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿。
   • 补偿标准与协商解除劳动合同相同。

3. 经济性裁员：

   • 如果小店因经济原因需要裁减人员，并符合法定情形，经过法定程序后，可以对被裁员工支付经济补偿。
   • 补偿标准同样按照员工在本单位的工作年限来计算。

4. 合同到期不续签或无故辞退：

   • 如果小店在劳动合同到期时不续签合同，或者无正当理由单方面解除劳动合同，也需要按照员工的工作年限支付经济补偿。

二、不需要支付经济补偿的情形

1. 试用期内不符合录用条件：

   • 如果员工在试用期内被证明不符合录用条件，小店可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。

2. 严重违反规章制度：

   • 如果员工严重违反小店的规章制度，如多次无故旷工、严重失职造成重大损害、营私舞弊等，小店有权解除合同且不支付经济补偿。

3. 被依法追究刑事责任：

   • 如果员工因犯罪行为被依法追究刑事责任，小店可以解除合同且不支付经济补偿。

三、违法辞退的后果

• 如果小店辞退员工的行为不符合上述合法情形，如无正当理由或辞退程序不合法（未提前通知等），则构成违法解除劳动合同。
• 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除或终止劳动合同的，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

四、建议与注意事项

• 明确辞退原因：小店在辞退员工时，应明确辞退的具体原因，并确保符合相关法律法规的规定。
• 完善规章制度：小店应建立完善的规章制度，明确员工的职责和义务，以及违反规章制度的后果，以预防因员工过错导致的合同解除风险。
• 合法合规操作：在辞退员工时，小店应严格按照法律规定的标准和程序执行，确保合法合规。
• 员工维权途径：如果员工认为小店的辞退行为不合法，可以通过协商、劳动监察投诉、劳动仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。

综上所述，私人小店在辞退员工时，应根据辞退的具体原因和相关的法律法规来判断是否需要支付经济补偿，并确保操作合法合规。