在第三次续签劳动合同时，单位原则上应与员工签订无固定期限劳动合同，但在特定情形下有权不续签。以下是对这一问题的详细分析：

一、法定续签要求与无固定期限劳动合同

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度、严重失职给单位造成重大损害等法定过错情形（即《劳动合同法》第三十九条规定的情形），以及非因工负伤、不能胜任工作等法定情形（即《劳动合同法》第四十条第一项、第二项规定的情形）时，如果劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，并且未提出订立固定期限劳动合同的要求，那么用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。

这意味着，在满足上述条件的情况下，单位有义务与劳动者签订无固定期限劳动合同，以确保劳动者的职业稳定性和连续性。

二、单位有权不续签的特定情形

尽管法律有明确规定，但在特定情况下，单位仍有权选择不续签劳动合同。这些情形包括：

1. 劳动者存在法定过错：如劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职给单位造成重大损害等，单位即便在第三次续签阶段也有权依法不续签。

2. 客观情况发生重大变化：根据《劳动合同法》第四十条第三项的规定，若劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议，单位可解除劳动合同。例如，单位因市场变化、政策调整等原因需要调整业务方向或组织结构，导致原劳动合同无法继续履行。

3. 单位经营困难：根据《劳动合同法》第四十一条的规定，若单位因生产经营发生严重困难、企业转产、重大技术革新等原因需要裁减人员，且符合法定程序，可在第三次合同续签时选择不续签。但单位需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，方可实施裁减。

三、经济补偿与赔偿问题

1. 经济补偿：若劳动合同期满，除单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订的情形外，终止固定期限劳动合同的，单位应向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 赔偿金：若单位违反法律规定不与劳动者续签劳动合同，劳动者有权要求单位支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍，以维护自身合法权益。

四、建议与注意事项

1. 单位应严格遵守法律法规：在处理第三次劳动合同续签问题时，单位应充分了解并遵守《劳动合同法》的相关规定，确保劳动者的合法权益不受侵害。

2. 与劳动者充分沟通：单位在决定是否续签合同时，应与劳动者进行充分沟通，了解其意愿和需求，避免因沟通不畅而引发法律纠纷。

3. 确保决策过程合法、公正：单位在决定是否续签合同时，必须确保决策过程的合法性、公正性，并严格遵循相关法律法规和公司政策。避免因不当处理而损害公司声誉或侵犯劳动者合法权益。

综上所述，第三次续签劳动合同时，单位应严格遵守法律法规，确保劳动者的合法权益不受侵害。在特定情形下，单位有权选择不续签，但必须与劳动者进行充分沟通并遵守相关法律程序。若单位违法不续签，将承担相应的法律责任和经济赔偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。