结论前置：当劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作时，劳动关系仍然存续，但双方应及时补签书面劳动合同以明确权利义务，避免潜在的法律风险。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动关系的存续
法律性质：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，劳动合同期满后，如果用人单位未与劳动者办理终止或续订手续，而劳动者继续在用人单位工作，则双方形成事实劳动关系。这意味着，尽管没有书面合同，但劳动者与用人单位之间的劳动关系依然有效。
实际影响：
- 劳动者继续享有原劳动合同约定的权益，如劳动报酬、工作时间、休息休假等。
- 用人单位仍需履行原劳动合同中的义务，如支付工资、提供劳动条件等。
二、用人单位的法律责任
支付双倍工资的风险：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 因此，在劳动合同期满后，如果用人单位未及时续签合同，且劳动者继续工作超过一个月，用人单位可能需要承担支付双倍工资差额的责任。
补订无固定期限劳动合同的义务：
- 如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据法律规定，视为用人单位已与劳动者订立了无固定期限劳动合同。
- 在这种情况下，用人单位应立即与劳动者补订无固定期限劳动合同，并承担由此产生的法律责任。
三、劳动者的权益保障
要求签订书面合同的权利：
- 劳动者有权要求用人单位与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 如果用人单位拒绝签订，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
主张双倍工资差额的权利：
- 如前所述，如果用人单位未依法签订书面合同，劳动者有权主张双倍工资差额。
- 这一权利的行使通常受到一定时效限制（如从应签订合同之日起计算一年内），因此劳动者应及时主张自己的权益。
解除劳动关系并主张经济补偿的权利：
- 如果用人单位存在违法用工行为（如长期不签订劳动合同），劳动者有权选择解除劳动关系，并要求用人单位支付相应的经济补偿。
四、实际操作建议
及时沟通：
- 劳动者应与用人单位就劳动合同续签事宜进行积极沟通，了解未续签的原因，并催促尽快办理相关手续。
- 用人单位也应主动与劳动者沟通，明确续签意向和条件，避免产生不必要的法律风险。
保留证据：
- 劳动者应妥善保存与工作相关的证据（如考勤记录、工资条、工作邮件等），以备不时之需。
- 这些证据在未来的劳动争议中将作为重要支持，有助于劳动者维护自己的合法权益。
寻求法律帮助：
- 如果与用人单位协商无果，或者遇到复杂的法律问题，劳动者可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和指导。
五、特殊情况处理
医疗期内的保护：
- 如果劳动者在劳动合同期满时处于医疗期内，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条，劳动合同应续延至医疗期满。
- 在此期间，用人单位不得随意解除劳动合同，并应按病假工资标准支付劳动者工资。
无固定期限劳动合同的订立：
- 如果劳动者在用人单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且没有法定解除情形，劳动者提出续订无固定期限劳动合同的，用人单位应当订立。
- 这有助于保护劳动者的长期就业权益，减少用人单位随意解除劳动合同的风险。
总结与建议：劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作的情况下，劳动关系仍然存续，但双方应及时补签书面劳动合同以明确权利义务。劳动者应积极维护自身权益，保留相关证据，并在必要时寻求法律帮助。用人单位也应加强合同管理，确保合法合规，避免不必要的法律风险和经济损失。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。