当员工没有签订劳动合同而离职时，这个问题确实需要从用人单位和员工两个角度来综合考虑，以确保双方的权益都能得到妥善保障。以下是我为您详细梳理的处理流程和建议：

从用人单位角度

1. 确认事实劳动关系：

   • 即便没有书面劳动合同，只要员工为公司提供了劳动并接受了管理，同时公司也支付了劳动报酬，那么双方就存在事实劳动关系。
   • 公司应尽快收集考勤记录、工资支付凭证、工作证以及同事证言等证据，以明确员工的工作情况和离职时间。

2. 工资结算与赔偿责任：

   • 公司需按照法律规定和薪酬制度，及时、足额地结算员工的工资，包括正常工资和加班工资。
   • 如果公司自用工之日起超过一个月但不满一年未与员工签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》，公司需要向员工每月支付二倍的工资作为赔偿。
   • 在员工离职时，公司应一次性付清所有工资，避免拖欠。

3. 办理离职手续：

   • 公司需要为员工开具离职证明，明确劳动合同期限、解除或终止日期、工作岗位以及工作年限等信息。
   • 同时，公司应反思并改进人力资源管理制度，加强劳动合同的签订和管理，防止类似情况再次发生。

4. 应对争议：

   • 如果与员工就离职事宜产生争议，公司应积极与员工沟通协商，寻求和解。
   • 如果协商不成，公司应准备相关证据材料，配合劳动仲裁委员会或法院的调查和处理。

从员工角度

1. 与用人单位协商：

   • 员工应首先尝试与用人单位进行友好协商，要求结算工资、办理离职手续，并提及未签订劳动合同的双倍工资赔偿问题。
   • 在协商过程中，员工应保留聊天记录、邮件等沟通记录作为证据。

2. 收集证据：

   • 如果用人单位存在违法行为，如拖欠工资或拒绝支付双倍工资，员工应收集能证明事实劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、招工招聘记录、考勤记录以及其他劳动者的证言等。

3. 主张权益：

   • 根据《劳动合同法》，员工有权要求用人单位自入职第二个月起支付双倍工资，但最长不超过十一个月。
   • 如果用人单位存在未及时足额支付劳动报酬或未依法缴纳社会保险费等情形，员工可以解除劳动关系并要求经济补偿。
   • 如果协商无果，员工可以在一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。对仲裁结果不满意时，还可以向人民法院提起诉讼。

4. 增强法律意识：

   • 员工应增强法律意识，了解自己的合法权益和法律责任。
   • 在入职时，员工应主动要求与用人单位签订劳动合同，以避免后续可能出现的纠纷。

总结与建议

• 双方应尽可能通过协商解决问题：无论是用人单位还是员工，都应尽量通过友好协商的方式解决离职问题，以避免劳动纠纷的产生。
• 遵守法律法规：在处理离职问题时，双方都应严格遵守相关法律法规，确保自己的行为合法合规。
• 加强沟通与理解：双方应加强沟通和理解，共同维护和谐的劳动关系。用人单位应规范用工管理，及时与员工签订劳动合同；员工也应了解自己的合法权益，积极维护自己的权益。

希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。